Fracionário Browniano Movimento Móvel Média

Aproximação forte do movimento browniano fracionário por médias móveis de passeios aleatórios simples Paacutel Reacuteveacutesz por ocasião de seu 65º aniversário Tamaacutes Szabados Departamento de Matemática, Universidade Técnica de Budapeste, Egry u 20-22, H eacutep. V em. O movimento browniano fracionário é uma generalização do movimento browniano ordinário, usado particularmente quando a dependência de longo alcance é necessária. Sua introdução explícita deve-se a Mandelbrot e van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como um processo gaussiano auto-semelhante W (H) (t) com incrementos estacionários. Aqui a auto-semelhança significa isso. Onde H isin (0,1) é o parâmetro Hurst do movimento browniano fracionário. F. B. Knight deu uma construção do movimento Brownian ordinário como um limite de caminhadas aleatórias simples em 1961. Mais tarde seu método foi simplificado por Reacuteveacutesz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Cingapura, 1990) e depois por Szabados (Studia Sci , Math. Hung. 31 (1996) 249ndash297). Esta abordagem é bastante natural e elementar, e como tal, pode ser estendido para situações mais gerais. Com base nisso, aqui usamos médias móveis de uma sequência aninhada adequada de passeios aleatórios simples que quase certamente convergem uniformemente para movimento fracionário Browniano em compactos quando. A taxa de convergência provada neste caso é. Onde N é o número de passos utilizados para a aproximação. Se a mais precisa (mas também mais intrincada) Komloacutes et al. (1975, 1976) é usada em vez disso para incorporar passeios aleatórios no movimento browniano ordinário, então o mesmo tipo de médias móveis quase certamente convergem uniformemente para o movimento browniano fracionário em compactos para qualquer H isin (0,1). Além disso, a taxa de convergência é conjecturada para ser a melhor possível. Embora só seja provado aqui. Movimento browniano fracionário Movimento browniano fracionário O movimento browniano fracionário (fBM) é uma generalização do movimento browniano comum (BM) usado particularmente quando a dependência de longo alcance é essencial. Embora a história da fBM possa ser rastreada até Kolmogorov (1940) e outros, sua introdução explícita deve-se a Mandelbrot e van Ness (1968). Sua intenção era definir um self-similar. (T) com incrementos estacionários, mas não independentes, e com trajetórias de amostra contínuas a. s. Aqui auto-similaridade significa que para qualquer a gt0, onde H isin (0,1) é o Hurst parâmetro da fBM e denota igualdade na distribuição. Eles mostraram que essas propriedades caracterizam fBM. O caso se reduz a BM normal com incrementos independentes, enquanto que os casos (resp.) Dão incrementos negativamente (respectivamente positivamente) correlacionados ver Mandelbrot e van Ness (1968). Parece que nas aplicações de fBM, o caso é o mais utilizado. Mandelbrot e van Ness (1968) deram a seguinte explícita representação de fBM como uma média móvel de BM ordinário, mas de dois lados: onde t 0 e (x) max (x, 0). A idéia de (2) está relacionada ao cálculo fracionário determinístico. Que tem uma história ainda mais longa do que fBM, voltando a Liouville, Riemann, e outros ver em Samko et al. (1993). Seu caso mais simples é quando uma função contínua f e um inteiro positivo são dados. Então uma indução com integração por partes pode mostrar que é a ordem iterada antiderivada (ou integral de ordem) de f. Por outro lado, esta integral é bem definida para valores positivos não inteiros de também, caso em que pode ser chamada de integral fracionária de f. Assim, heuristicamente, a parte principal de (2), é a integral de ordem do processo de ruído branco W (no sentido comum não existente) W (t). Assim, a fBM W (H) (t) pode ser considerada como uma modificação de incremento estacionário da integral fracionária W (t) do processo de ruído branco, onde. A forte aproximação do movimento browniano fracionário por médias móveis de passeios aleatórios simples Identificador arxiv -1008.1702 Textos do Mediatype Scanner Internet Archive Biblioteca de Python 0.3.2 Fonte arxiv. orgabs1008.1702v1 Identificador-arquivo de acesso archive. orgdetailsarxiv-1008.1702 Identificador-arca arca: 13960t2r522g74 Ppi 300 Ocr ABBYY FineReader 9.0 Backuplocation ia90570710 O movimento browniano fracionário é uma generalização do Brownian ordinário Movimento, usado particularmente quando a dependência de longo alcance é necessária. Sua introdução explícita é devida a B. B. Mandelbrot e J. W. Van Ness (1968) como um processo gaussiano auto-semelhante WH (t) com incrementos estacionários. Aqui a auto-similaridade significa que (um WH (at): t ge 0) stackrel (WH (t): t ge 0), onde Hin (0, 1) é o parâmetro de Hurst do movimento browniano fracionário. F. B. Knight deu uma construção do movimento Brownian ordinário como um limite de caminhadas aleatórias simples em 1961. Mais tarde seu método foi simplificado por P. Revesz (1990) e então pelo presente autor (1996). Esta abordagem é bastante natural e elementar, e como tal, pode ser estendido para situações mais gerais. Com base nisso, aqui usamos médias móveis de uma seqüência aninhada adequada de passeios aleatórios simples que quase certamente convergem uniformemente para o movimento browniano fracionário em compactos quando H em (quarto 1). A taxa de convergência provada neste caso é O (N log N), onde N é o número de passos usados ​​para a aproximação. Se a aproximação de Komlos, Major, Tusnady (1975, 1976), mais precisa (mas também mais intrincada), é usada em vez disso para incorporar passeios aleatórios no movimento browniano ordinário, então o mesmo tipo de médias móveis quase certamente convergem uniformemente para o movimento browniano fracionário em compactos Para qualquer H em (0, 1). Além disso, a taxa de convergência é conjecturada como sendo a melhor possível O (N log N), mas apenas O (N log N) é provado here. Titre du document Título do documento Aproximação forte do movimento browniano fracionário por médias móveis de passeios aleatórios simples (S) Autor (es) Affiliation (s) du ou des auteurs Autor (es) Afiliação (s) (1) Departamento de Matemática, Universidade Técnica de Budapeste, Egry u 20-22, H p. Resumo O movimento browniano fracionário é uma generalização do movimento browniano comum, usado particularmente quando é necessária uma dependência de longo alcance. Sua introdução explícita deve-se a Mandelbrot e van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como um processo gaussiano auto-semelhante W (H) (t) com incrementos estacionários. Aqui a auto-similaridade significa que (a - H W (H) (at): t0) d - (W (H) (t): t0), onde H (0, 1) é o parâmetro de Hurst do movimento browniano fracionário. F. B. Knight deu uma construção do movimento Brownian ordinário como um limite de caminhadas aleatórias simples em 1961. Mais tarde seu método foi simplificado por Rvsz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Cingapura, 1990) e depois por Szabados (Studia Sci , Math. Hung. 31 (1996) 249-297). Esta abordagem é bastante natural e elementar, e como tal, pode ser estendido para situações mais gerais. Com base nisso, aqui usamos médias móveis de uma seqüência aninhada adequada de passeios aleatórios simples que quase certamente convergem uniformemente para movimento fracionário Browniano em compactos quando H (14, 1). A taxa de convergência provada neste caso é O (N-min (H-14,1-4) log N), onde N é o número de etapas usadas para a aproximação. Se a mais precisa (mas também mais intrincada) Komls et al. (1975, 1976) é usada em vez disso para inserir caminhadas aleatórias no movimento browniano ordinário, então o mesmo tipo de médias móveis quase certamente convergem uniformemente para o movimento browniano fracionário em compactos para qualquer H (0, 1). Além disso, a taxa de convergência é conjecturada como sendo a melhor possível O (N-H log N), embora apenas O (N-min (H, 12) log N) seja provado aqui. Revue Título do periódico Fonte Fonte 2001, vol. (1973) (Revue) Palavras-chaveMelhoras médias gaussianas, semimartingales e preço das opções Patrick Cheridito. Departamento de Matemática, ETH Zrich, CH-8092 Zrich, Suíça Recebido em 30 de janeiro de 2003. Revisado em 11 de junho de 2003. Aceito em 18 de agosto de 2003. Disponível on-line 21 de setembro de 2003. Nós fornecemos uma caracterização dos processos gaussianos com incrementos estacionários que podem ser representados como Uma média móvel em relação a um movimento browniano de dois lados. Para tal processo nós damos uma condição necessária e suficiente para ser um semimartingale com respeito à filtração gerada pelo movimento Brownian de dois lados. Além disso, mostramos que esta condição implica que o processo é de variação finita ou múltiplo de um movimento browniano em relação a uma medida de probabilidade equivalente. Como uma aplicação, discutimos o problema da opção de preços em modelos financeiros impulsionados por Gaussian médias móveis com incrementos estacionários. Em particular, derivamos os preços das opções em uma versão fracionária regularizada do modelo BlackScholes. Processos gaussianos Representação média móvel Semimartingales Medidas martingale equivalentes Preço de opções 1 Introdução Seja um espaço de probabilidade equipado com um movimento browniano de dois lados, isto é, um processo Gaussiano centrado contínuo com covariância Para uma função que é zero no eixo real negativo e satisfaz Para todo t gt0, pode-se definir o processo Gaussiano centrado com incrementos estacionários. O objetivo deste trabalho é o estudo de processos da forma (1.1) com vista à modelagem financeira. Se (X t) t 0 é um processo estocástico, denotamos a menor filtração que satisfaz os pressupostos usuais e contém a filtragem Por nós denotamos a menor filtração que satisfaz as suposições usuais e contém a filtragem A estrutura do papel é como Segue. Na Seção 2, lembramos um resultado de Karhunen (1950). Que dá condições necessárias e suficientes para que um processo Gaussiano centralizado estacionário seja representável na forma em que. Na Secção 3 damos uma caracterização dos processos da forma (1.1) que são - semimartingales e mostramos que eles são processos de variação finita, ou para cada T (0,) existe uma medida de probabilidade equivalente sob a qual (Y T) t 0, T é um múltiplo de um movimento browniano. Na Seção 4, aplicamos uma transformação introduzida em Masani (1972) para estabelecer uma correspondência um-para-um entre processos Gaussianos estacionários centrados e processos Gaussianos centrados com incrementos estacionários que são zero para t 0. Isso nos permite estender o resultado de Karhunens a centrado Gaussiano com incrementos estacionários e para mostrar que cada processo da forma (1.1) pode ser aproximado por semimartingales da forma (1.1). Ao transferir os resultados da Seção 3 para a estrutura de processos estacionários Gaussianos centrados, obtemos uma extensão do Teorema 6.5 de Knight (1992). O que dá uma condição necessária e suficiente para que um processo da forma (1.2) seja uma - semimartingale. Na Seç~ao 5 discutimos o problema do pricing de opç~oes em modelos financeiros impulsionados por processos da forma (1.1). Como exemplo, o preço de uma opção de compra europeia em um fracionário regularizados BlackScholes modelo. 2 Médias móveis gaussianas estacionárias Definição 2.1 Um processo estocástico é estacionário se para todos, onde denota igualdade de todas as distribuições finitas-dimensionais. Definição 2.2 Por S denotamos o conjunto de funções tais que (t) 0 para todo t lt0. Se S. Podemos, para todos, definir no sentido L 2. É claro que é um processo estacionário Gaussiano centrado. Se possível, escolhemos uma versão contínua direita. Exemplo 2.3 Vamos,, para um gt0. Então, S. E é um processo OrnsteinUhlenbeck estacionário. Observação 2.4 S. Pode ser mostrado aproximando-se com funções contínuas com suporte compacto, que Portanto, t X t é um mapeamento contínuo de para. Além disso, onde denota o L2-fechamento do intervalo linear de um conjunto de quadrado-integrable aleatório variáveis. O seguinte teorema segue de Satz 5 em Karhunen (1950). Teorema 2.5 (Karhunen, 1950) Seja um processo Gaussiano centralizado estacionário tal que, portanto, exatamente os mesmos argumentos que mostram que o modelo padrão de BlackScholes é livre de arbitragem e completo, pode ser usado para provar que o mesmo é verdadeiro para o modelo 5.1). Em particular, o preço justo único de uma opção de compra europeia com maturidade T e preço de exercício K é dado por Se é da forma (i) ou (ii), então pode ser facilmente regularizado: Escolha uma volatilidade arbitrária v gt0. Por Proposição 4.4. Existe para todo gt0 uma funç~ao da forma (iii) tal que e (1) Seja SI I com (0) 0. Obviamente, a distribuição do processo (Y t) t 0, T depende de toda a função. Por outro lado, o preço da opção (5.2) depende apenas de (0). A razão para isto é que o preço da opção dado por (5.2) é a quantidade mínima de riqueza inicial necessária para replicar o pay-off das opções com uma estratégia de negociação que pode ser ajustada continuamente no tempo, e pode ser visto de (3.9) Que a volatilidade do modelo (5.1) é dada por (0). (2) Substituindo a função SI na representação (3.3) por um processo estocástico adequado (t) t 0, T com valores em SI. Deve ser possível estender modelos da forma (5.1) a modelos com volatilidade estocástica. Exemplo 5.2 (Modelo fracionado de BlackScholes fracionado) Deixe para uma constante positiva. E c H como no Exemplo 3.3 (b). Em seguida, o processo é igual a, onde é um fBm padrão, eo modelo correspondente (5.1) é uma versão fracionária do modelo BlackScholes. Para uma discussão da evidência empírica de correlação nos retornos de preço das acções ver, v. g. Cutland et ai. (1995) ou Willinger et ai. (1999) e suas referências. Em Klppelberg e Khn (2002), os modelos de preços de ativos fracionários são motivados por uma demonstração de que fBm pode ser visto como um limite dos processos de ruído de tiro de Poisson. Contudo, do Teorema 3.9 (b) resulta que (B t H) t 0, T não é uma semimartingalidade em relação à filtração, e é sabido que não é uma semimartinga em sua própria filtração (para uma prova No caso ver Exemplo 4.9.2 em Liptser e Shiryaev (1989) para uma prova geral ver Maheswaran e Sims (1993) ou Rogers (1997)). Segue-se do teorema 7.2 em Delbaen e Schachermayer (1994) que existe um almoço grátis com risco de fuga consistindo em estratégias de negociação simples e previsíveis. Uma discussão inicial sobre a existência de arbitragem em modelos de fBm pode ser encontrada em Maheswaran e Sims (1993). Em Rogers (1997) é construída uma arbitragem para um modelo linear de fBm, e é mostrado que fBm pode ser transformado em semimartingale modificando a função perto de zero. As estratégias de arbitragem dadas em Shiryaev (1998) e Salopek (1998) trabalham para modelos de fBm lineares e exponenciais com. Em Cheridito (2003), a arbitragem para modelos lineares e exponenciais de fBm é construída para todos. Para regularizar o modelo fracionário de BlackScholes, podemos modificar a função (5.3) da seguinte forma: Para v gt0 e d gt0, definir É claro que para v v gt0, Por isso, pode ser mostrado como na prova da Proposição 4.4 que para Por outro lado, uma vez que a função v, d é de forma (iii), o modelo correspondente (5.1) é livre de arbitragem e completa, eo preço de uma opção de chamada europeia é dado por (5.2). Agradecimentos Este artigo surgiu de um capítulo da dissertação de doutorado autores conduzida no ETH Zrich sob a supervisão de Freddy Delbaen. O autor agradece a Jan Rosinski e Marc Yor por comentários úteis ea Yacine At-Sahalia por um convite ao Centro de Finanças Bendheim em Princeton, onde uma parte do artigo foi escrita. O apoio financeiro da Fundação Nacional da Ciência da Suíça e do Credit Suisse é reconhecido com gratidão. Referências Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes O preço das opções e passivos corporativos J. Polit. Econom. Volume 81. 1973. pp. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Sensibilidade do preço da opção BlackScholes ao comportamento do caminho local do processo estocástico modelando o ativo subjacente Proc. Steklov Inst. Matemática. Volume 237. 2002. pp. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitragem em modelos fracionários de movimento browniano Finance Stochast. Volume 7. Edição 4. 2003 pp. 533553 Cherny 2001 Cherny, A. 2001. Quando é uma média móvel um semimartingale Research Report No. 2001-28, MaPhySto, Dinamarca. Cutland 1995 N. J. Cutland. PE. Kopp. W. 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